§ 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Прочитай параграф о сумме n первых членов геометрической прогрессии, разберись с формулой и с отдельным случаем q = 1, затем реши 10 заданий. В расчётных заданиях запиши только число.

По легенде изобретатель шахмат попросил у раджи по зерну на первую клетку доски и вдвое больше на каждую следующую. Раджа согласился — и просчитался.

Складывать 64 слагаемых по одному бессмысленно. Умножим сумму на знаменатель и вычтем исходную запись (рис. 1): строки сдвинуты на один член, и почти всё сокращается:

2S₆₄ − S₆₄ = 2⁶⁴ − 1; S₆₄ = 18 446 744 073 709 551 615.

Две строки суммы 2S₆₄ и S₆₄, сдвинутые на один член, под чертой строка из нулей, слева −1, справа 2⁶⁴; вывод S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 — Рис. 1. Приём «умножили на 2 и вычли»: совпавшие слагаемые сокращаются

Определение. Сумма Sₙ — это результат сложения n первых членов прогрессии: Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ.

Тот же приём с буквами. Распишем Sₙ = b₁ + b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ⁻¹, умножим обе части на q и вычтем исходное равенство (рис. 2):

Sₙq − Sₙ = b₁qⁿ − b₁; Sₙ(q − 1) = b₁(qⁿ − 1).

Две строки Sₙq и Sₙ из слагаемых b₁q, b₁q², …, сдвинутые на один член; под чертой нули, слева −b₁, справа b₁qⁿ; вывод Sₙ(q − 1) = b₁(qⁿ − 1) — Рис. 2. Тот же приём в общем виде даёт Sₙ(q − 1) = b₁(qⁿ − 1)

Запомни: при q ≠ 1

Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).

Если известен последний член, удобнее другая запись: b₁qⁿ = (b₁qⁿ⁻¹) · q = bₙq, поэтому

Дальше — в приложении

Полный пересказ по учебнику «Алгебра 9 класс», тест из большого пула вопросов и разбор ошибок с ИИ-репетитором. За сданный тест ребёнок получает экранное время — родители задают, сколько минут стоит урок.

Пройти урок бесплатно Как это работает

Вопросы из теста

Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.

Что обозначает Sₙ для геометрической прогрессии?

Значение члена прогрессии, стоящего на месте с номером n
Знаменатель прогрессии, возведённый в степень с показателем n
Сумму n первых членов прогрессии, то есть b₁ + b₂ + … + bₙ
Произведение n первых членов прогрессии
Разность между членом с номером n и первым членом
Количество членов, из которых состоит прогрессия

Как записывается формула суммы n первых членов геометрической прогрессии при q ≠ 1?

Sₙ = b₁(qⁿ + 1)/(q + 1)
Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 + q)
Sₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ · (q − 1)
Sₙ = (b₁ + bₙ) · n/(q − 1)
Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
Sₙ = b₁ · n/(qⁿ − 1)

← § 24. Геометрическая прогрессия § 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1 →