§ 24. Геометрическая прогрессия

Определение. Геометрической прогрессией называют последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на одно и то же число.

Это постоянное число называют знаменателем прогрессии и обозначают буквой q. Саму прогрессию записывают (bₙ), её первый член — b₁, второй — b₂ и так далее. Взгляни на цепочку 2, 6, 18, 54, … (рис. 1): каждый следующий член получен из предыдущего умножением на 3, поэтому здесь b₁ = 2, q = 3.

Знаменатель прячется в отношении соседних членов: если каждый раз умножали на одно и то же число, то это число можно вернуть делением. Значит, q = bₙ₊₁ : bₙ. Для нашей цепочки 6 : 2 = 3, 18 : 6 = 3, 54 : 18 = 3 — отношение везде одно и то же. По этому признаку прогрессию и узнают: у последовательности 5, 10, 15, 20 отношения 10 : 5 = 2 и 15 : 10 = 1,5 разные, значит геометрической прогрессией она не является.

Из равенства q = bₙ₊₁ : bₙ получается рекуррентная формула bₙ₊₁ = bₙq: каждый следующий член считают через предыдущий. Поэтому прогрессию задают парой условий:

b₁ = b, bₙ₊₁ = bₙq.

Чтобы прогрессия была определена полностью, достаточно назвать всего два числа — первый член и знаменатель. Например, b₁ = 5 и q = 2 дают последовательность 5, 10, 20, 40, 80, … .

Запомни: в геометрической прогрессии ни один член не равен нулю и знаменатель q тоже не равен нулю. Стоит одному члену стать нулём — и все следующие обратятся в нуль, а делить на нуль при поиске q будет нельзя.

Считать члены по одному неудобно: чтобы добраться до двадцатого, придётся сделать девятнадцать умножений. Выведем формулу, которая даёт любой член сразу. Будем раскручивать рекуррентное правило от начала (рис. 2):

b₂ = b₁ · q = b₁q¹; b₃ = b₂ · q = (b₁q)q = b₁q²; b₄ = b₃ · q = (b₁q²)q = b₁q³; b₅ = b₄ · q = (b₁q³)q = b₁q⁴.

Закономерность видна: первый член умножают на степень знаменателя, а показатель этой степени на единицу меньше номера искомого члена. Так, b₆ = b₁q⁵, b₇ = b₁q⁶, и в общем виде

bₙ = b₁qⁿ⁻¹.

Такую запись и называют формулой n-го члена прогрессии. Проверим формулу на прогрессии 2, 6, 18, 54, … : пятый член равен b₅ = 2 · 3⁵⁻¹ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162. Считая по одному, получили бы ту же цепочку 2, 6, 18, 54, 162. Показатель здесь 4, а не 5, — это самая частая ошибка в теме.

Поведение прогрессии целиком определяет знаменатель. При q > 1 члены растут, причём всё стремительнее: на рис.