Главная → Уроки → Алгебра 9 класс
§ 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1
Прочитай параграф о сумме бесконечной геометрической прогрессии, запомни условие |q| < 1, затем реши 10 заданий. В расчётных заданиях запиши только число.
До сих пор мы складывали конечное число слагаемых. Но в задачах встречаются суммы, у которых слагаемых бесконечно много, и словосочетание «сумма бесконечного числа слагаемых» поначалу озадачивает: сложение, у которого нет последнего шага, никогда не закончится. Посмотрим на примере, как математика обходит эту трудность.
Возьмём квадрат, сторона которого равна 1, и разрежем его пополам. Одну половину закрасим, а вторую снова разделим пополам: одну часть закрасим, другую опять разделим — и так без конца (рис. 1).
Посчитаем закрашенную площадь после каждого шага: S₁ = 1/2, S₂ = 1/2 + 1/4 = 3/4, S₃ = 3/4 + 1/8 = 7/8, S₄ = 7/8 + 1/16 = 15/16, а вообще Sₙ = 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ. Слагаемые здесь — члены геометрической прогрессии, у которой b₁ = 0,5 и q = 0,5, поэтому подойдёт формула суммы n первых членов: Sₙ = (b₁(qⁿ − 1))/(q − 1) = = (0,5 · (0,5ⁿ − 1)) : (0,5 − 1) = = 1 − 0,5ⁿ, то есть Sₙ = 1 − 1/2ⁿ. Площадь всего квадрата равна 1, поэтому незакрашенным остаётся ровно 1/2ⁿ. Значения обеих величин по шагам собраны в таблице на рис. 2: слева суммы Sₙ, справа остаток.
По этому алгоритму квадрат целиком не закрасится никогда. Но чем больше шагов сделано, тем меньше закрашенная фигура отличается от квадрата, а незакрашенная — от пустого места. Действительно, при увеличении n дробь 1/2ⁿ уменьшается неограниченно, значит, разность 1 − 1/2ⁿ подбирается к единице как угодно близко. Тот же расклад виден на отрезке длиной 1 (рис. 3): куски 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … заполняют его целиком, не выходя за край.
Отметим суммы S₁, S₂, S₃, … точками на координатной прямой (рис. 4). Точки идут вправо, сгущаются возле единицы, но ни одна её не достигает и ни одна не переходит. Тогда говорят так: при неограниченном росте номера n суммы Sₙ рассмотренной прогрессии стремятся к числу 1. Само это число и называют суммой бесконечной прогрессии, а пишут её вот как: 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2ⁿ + … = 1.
Разберём теперь общий случай. Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия b₁, b₂, b₃, …, bₙ, …, у которой |q| < 1. Сумму n первых её членов преобразуем: Sₙ = (b₁(qⁿ − 1))/(q − 1) = = (b₁ − b₁qⁿ)/(1 − q) = = b₁/(1 − q) − (b₁/(1 − q)) · qⁿ.
Дальше — в приложении
Полный пересказ по учебнику «Алгебра 9 класс», тест из большого пула вопросов и разбор ошибок с ИИ-репетитором. За сданный тест ребёнок получает экранное время — родители задают, сколько минут стоит урок.
Пройти урок бесплатноКак это работаетВопросы из теста
Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.
По какой формуле находят сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1?
- S = b₁ · (1 − q)
- S = b₁/(1 + q)
- S = b₁/(1 − q)
- S = b₁/(q − 1)
- S = (1 − q)/b₁
- S = b₁ · q/(1 − q)
Ученик записал: «Сумма бесконечной геометрической прогрессии 5; 10; 20; 40; … равна 5 : (1 − 2) = −5». В чём здесь ошибка?
- Ошибка только в арифметике: по этой формуле должно получиться 5, а не −5
- Знаменатель этой прогрессии равен 1/2, поэтому сумма на самом деле равна 10
- У такой прогрессии суммы не существует: здесь |q| = 2, а формула верна лишь при |q| < 1
- Надо было взять формулу в виде S = b₁/(q − 1), и тогда получился бы ответ 5
- Сумма бесконечной прогрессии не бывает отрицательной, значит ответ равен 5
- Формула применена верно, но первым членом надо было взять 10, а не 5