§ 2. Основное свойство рациональной дроби

Равенство 5x + 3 − 2x + 1 = 3x + 4 верно, какое число ни подставь вместо x: слева и справа записано одно и то же целое выражение, только свёрнутое по-разному. Такие равенства мы называли тождествами ещё в 7 классе.

Возьмём теперь равенство

(5x + 3 − 2x + 1) / (x − 4) = (3x + 4) / (x − 4).

Числители здесь равны, знаменатели одинаковы, и хочется сказать «верно всегда». Но при x = 4 знаменатель обращается в нуль, и обе дроби теряют смысл. Значит, слова «при любом значении переменной» не годятся — нужны слова «при любом допустимом значении». На рис. 1 показано, что это за значения: вся числовая прямая, из которой выколото одно число 4.

Из-за таких равенств определения, знакомые по 7 классу, приходится уточнить.

Определение. Два выражения называют тождественно равными, если при каждом наборе допустимых значений переменных они дают одно и то же число.

Определение. Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, которые в него входят.

Например, (m + 7) / (m + 7) = 1 — тождество: при любом m, кроме −7, слева стоит частное двух одинаковых ненулевых чисел, то есть единица. Само число −7 в область допустимых значений не входит, поэтому и спрашивать о нём не нужно.

В 7 классе мы преобразовывали целые выражения: раскрывали скобки и раскладывали многочлены на множители. Теперь очередь дробных, а главный инструмент для них похож на знакомое свойство отношения двух чисел:

a / b = am / (bm), где b ≠ 0 и m ≠ 0.

У рациональных дробей всё устроено так же, только вместо чисел стоят многочлены.

Свойство. Умножив числитель и знаменатель рациональной дроби на один и тот же многочлен, не равный нулю, получим дробь, тождественно равную исходной.

Это утверждение и называют основным свойством рациональной дроби. Коротко его записывают так:

A / B = (A · C) / (B · C). Буквами A, B, C здесь обозначены многочлены, а знаменатель B и множитель C нулю не равны.

Равенство читают в обе стороны (рис. 2). Справа налево — у дроби (A · C) / (B · C) убирают общий множитель C и получают A / B; такой переход и называют сокращением на множитель C. Слева направо — дробь A / B умножают сверху и снизу на C, то есть приводят к новому знаменателю B · C.

Сокращать дробь удобно по короткому плану (рис. 3): разложить на множители числитель, разложить знаменатель, найти у них общий множитель и разделить на него обе части дроби.