§ 6. Системы линейных неравенств с одной переменной

Найдём все значения переменной x, при которых выражение √(3x − 6) + √(8 − x) имеет смысл. Множество таких значений называют областью определения выражения. Под знаком квадратного корня отрицательного числа быть не может, поэтому одновременно должны выполняться два условия: 3x − 6 ≥ 0 и 8 − x ≥ 0. Искомые числа — это общие решения двух неравенств сразу.

Несколько неравенств, у которых разыскивают общие решения, объединяют в систему неравенств. Записывают её так же, как систему уравнений, — фигурной скобкой:

{ 3x − 6 ≥ 0, { 8 − x ≥ 0.

Определение. Решением системы неравенств называют такое значение переменной, при котором каждое неравенство системы превращается в верное числовое неравенство.

Для нашей системы годятся, например, числа 2, 5 и 8: при каждом из них верны оба неравенства сразу. А число 9 решением не является — первое неравенство оно обращает в верное, зато второе нарушает.

Определение. Решить систему неравенств — значит найти все её решения либо убедиться, что ни одного решения нет.

Все решения вместе образуют множество решений системы. Если подходящих чисел не нашлось, говорят, что множеством решений служит пустое множество; обозначают его знаком ∅.

У каждого неравенства системы есть своё множество решений. Число подходит системе только тогда, когда попало в оба множества сразу, то есть в их общую часть. Общую часть двух множеств называют пересечением и обозначают знаком ∩.

Правило. Решить систему неравенств — значит найти пересечение множеств решений каждого из её неравенств.

Как это выглядит на координатной прямой, показано на рис. 1. Верхняя прямая — решения неравенства x ≥ −1, средняя — решения неравенства x < 4, а на нижней остались только те точки, которые закрашены и там, и там. Получился промежуток [−1; 4).

Вернёмся к задаче об области определения. Заменим каждое неравенство системы более простым, равносильным ему:

{ 3x − 6 ≥ 0, { 3x ≥ 6, { x ≥ 2, { 8 − x ≥ 0; { −x ≥ −8; { x ≤ 8.

Подходит любое число, которое не меньше 2 и не больше 8, то есть удовлетворяющее двойному неравенству 2 ≤ x ≤ 8.