§ 5. Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки

Основание равнобедренного треугольника равно 9 см, а каждая боковая сторона — x см. При каком x периметр окажется больше 33 см? Условие записывается неравенством 9 + 2x > 33. Решить неравенство с одной переменной — значит найти все значения переменной, обращающие его в верное числовое неравенство, либо убедиться, что их нет.

Поступают почти как с уравнениями: неравенство шаг за шагом заменяют более простым, у которого множество решений то же самое. Неравенства с одинаковыми решениями называют равносильными.

Правило. Слагаемое переносят из одной части неравенства в другую, меняя его знак на противоположный: из 2x + 5 < 9 получается 2x < 9 − 5.

Правило. Обе части умножают или делят на одно положительное число, а знак неравенства сохраняют: из 3x > 21 следует x > 7.

Правило. Обе части умножают или делят на одно отрицательное число, но знак неравенства заменяют противоположным: > на <, ≥ на ≤ и наоборот.

Третье правило запоминают хуже всего, а без него ответ выходит зеркальным. Проверим его на числах: возьмём верное неравенство −3 < 4 и умножим обе части на −2. Слева получится 6, справа −8, и теперь верно 6 > −8 (рис. 1). Меньшее число стало большим — точки поменялись местами, поэтому знак обязан развернуться.

Вернёмся к треугольнику и запишем цепочку равносильных неравенств столбиком:

9 + 2x > 33; 2x > 33 − 9; 2x > 24; x > 12.

Подходит любое число, большее 12; таких чисел бесконечно много. Всё множество решений записывают одной строкой — числовым промежутком (12; +∞); читают «промежуток от 12 до плюс бесконечности». Ответ годится в любой форме: x > 12 или (12; +∞).

Определение. Числовой промежуток — множество всех точек координатной прямой по одну сторону от отмеченного числа; сама эта точка может в него входить, а может не входить.

Решениям неравенства x > 12 отвечают точки правее числа 12: получается луч с «выколотым» началом. Промежуток выделяют штриховкой над лучом (рис.