§ 21. Числовые последовательности

Многое вокруг нас удобно пронумеровать: свои номера есть у месяцев года, у подъездов дома, у вагонов поезда, и даже каждый ученик класса стоит в журнале под собственным номером. Объекты, расставленные по порядку и снабжённые номерами 1, 2, 3, …, n, …, образуют последовательность, а сами объекты называют её членами. Член, стоящий на месте с номером n, называют n-м членом последовательности.

Определение. Последовательность, членами которой служат числа, называют числовой последовательностью.

Члены обозначают буквой с индексом, а индекс — это как раз номер: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, … . Всю последовательность записывают короче — (aₙ). Например, если через (pₙ) обозначить простые числа по возрастанию, то p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, p₄ = 7, p₅ = 11. Порядок членов существен: переставь их местами — получится уже другая последовательность. Соответствие «номер → член» показано на рис. 1.

Вот ещё несколько числовых последовательностей: 2, 4, 6, 8, 10, … — чётные натуральные числа; 0,7; 0,77; 0,777; … — десятичные приближения дроби 7/9; −1, −2, −3, −4, … — целые отрицательные числа; 17, 34, 51, 68, 85 — двузначные числа, кратные 17.

Первые три ряда можно продолжать сколько угодно долго, а в последнем членов ровно пять: двузначных чисел, кратных 17, после 85 больше нет. Поэтому последовательности делят на бесконечные и конечные (рис. 2).

Запомни: последовательность считают заданной, если по любому номеру можно указать член, который на этом месте стоит. Основных способов задания четыре, и каждый удобен по-своему.

Описательный способ. Правило проговаривают словами: первый член равен 1, а каждый следующий на 3 больше предыдущего. Потом выписывают несколько первых членов подряд и ставят многоточие: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, … . Такая запись годится, лишь когда ясно, что скрыто за многоточием: здесь за 19 обязано идти 22.

Задание таблицей. Конечную последовательность можно задать таблицей: в верхней строке — номера, в нижней — сами члены. Так задано, например, число дней в месяцах 2025 года (рис. 3). Формулы у такой последовательности нет вовсе, и это не беда: таблица — полноправный способ задания.

Задание формулой n-го члена. Самая рабочая запись имеет вид aₙ = f(n): подставляя вместо n натуральные числа, получаем члены один за другим.