§ 20. Начальные сведения о статистике

Сколько экземпляров учебника напечатать, чтобы книг хватило всем и склад не остался забитым? Какие размеры кроссовок завозить в магазин чаще других? Стоит ли открывать в школе новую спортивную секцию и какую именно? Ответить на такие вопросы «на глаз» нельзя: нужны собранные данные и умение их обрабатывать. Этим и занимается статистика.

Определение. Статистика (от лат. status — состояние) — наука о сборе, обработке и анализе числовых данных, описывающих массовые явления.

Слово «массовые» здесь ключевое. Один измеренный рост ученика ничего не говорит о девятиклассниках вообще, а сотня измерений уже позволяет сделать вывод.

Любое статистическое исследование проходит четыре этапа: сначала собирают данные, затем приводят их к удобному виду, потом анализируют и только после этого формулируют выводы (рис. 1). Пропускать этапы нельзя: аккуратная диаграмма, построенная по плохо собранным данным, вводит в заблуждение сильнее, чем отсутствие диаграммы.

Сбор данных. Обследовать всех, кого касается вопрос, обычно невозможно. Врачи, установившие связь между малоподвижным образом жизни и болезнями сердца, не осматривали каждого жителя планеты. Значит, изучать приходится только часть объектов.

Определение. Генеральной совокупностью называют всё множество объектов, о котором требуется сделать вывод, а выборкой — ту часть этих объектов, которая была исследована на самом деле.

Определение. Объёмом выборки называют количество объектов, попавших в выборку.

На рис. 2 генеральная совокупность изображена большим кругом, а выборка — семью отобранными из него объектами; объём такой выборки равен 7. Вывод, полученный по выборке, переносят на всю генеральную совокупность — в этом и состоит смысл выборочного метода.

Переносить вывод можно, однако, не с любой выборки. Если о популярности артиста спрашивать только у зрителей его концерта, ответы окажутся восторженными: эти люди пришли именно потому, что артист им нравится. Такая выборка описывает не всю совокупность, а лишь одну её часть.

Запомни: выборка должна быть массовой и репрезентативной (от фр. représentatif — показательный), то есть по составу повторять генеральную совокупность.

Скажем, чтобы узнать, какую секцию хотят девятиклассники школы, мало опросить один класс (рис. 3): именно в нём может собраться половина футбольной команды. Нужно брать учеников из всех классов параллели и в тех же долях, в каких они представлены в школе.

Иногда выборка совпадает с генеральной совокупностью — так бывает, когда обследуют всех без исключения. Пример такого исследования — итоговая аттестация по математике: её пишут все девятиклассники, а не отобранные.

Представление данных. Пусть опрошены 240 девятиклассников: в какую секцию каждый из них хочет записаться. Полученные ответы удобно свести в таблицу.

Определение. Частотой значения называют количество объектов выборки, у которых встретилось это значение.

Определение. Относительной частотой значения называют отношение его частоты к объёму выборки; чаще всего её записывают в процентах.

Таблицу, где рядом с каждым значением стоит его частота, называют частотной (рис. 4). Относительную частоту считают по правилу:

относительная частота = частота / объём выборки · 100 %.

Например, плавание выбрали 72 человека из 240:

72 / 240 · 100 % = = 0,3 · 100 % = = 30 %.

Проверить таблицу легко: сумма всех частот обязана равняться объёму выборки, а сумма относительных частот — ста процентам. Действительно, 72 + 60 + 48 + 36 + 24 = 240 и 30 + 25 + 20 + 15 + 10 = 100.

Ту же таблицу наглядно показывает столбчатая диаграмма, которую называют ещё гистограммой (от греч.