§ 14. Математическое моделирование

Трудно назвать науку, которая обходится без математики: к ней обращаются физик и химик, биолог и экономист, инженер и даже языковед. Секрет универсальности прост — почти любую задачу удаётся пересказать на языке чисел, выражений, уравнений и графиков и дальше работать уже с этой записью по правилам алгебры.

Определение. Математическая модель задачи — это запись её условия средствами математики: уравнение, система, неравенство, формула или график, где отражены связи между данными и искомыми величинами.

Определение. Задачу из жизни или из другой науки, для которой строят такую запись, называют прикладной.

Слово «модель» пришло из латыни: modulus — «мерка», «образец». Модель самолёта, модель атома, модель Солнечной системы: рассматривая модель, узнают что-то о самом предмете. Раздел математики, который строит модели и работает с ними, называют математическим моделированием.

Решение прикладной задачи идёт в три этапа (рис. 1). Первый — перевод: вводят переменные и записывают уравнение, систему или неравенство. Второй — чисто математический: модель решают привычными способами, не думая о сюжете. Третий — истолкование: найденные числа возвращают в условие и проверяют по смыслу. Пропустить его нельзя: уравнение не знает, что скорость не бывает отрицательной, а число рабочих — дробным.

Первый этап идёт быстрее, если помнить формулы частых величин (рис. 2). Путь, скорость и время связаны равенством s = v · t; отсюда v = s/t и t = s/v. У лодки на реке течение прибавляется к собственной скорости v или отнимается: по течению v + u, против течения v − u (рис. 3); при v = 12 км/ч и u = 3 км/ч это 15 км/ч и 9 км/ч. В задачах на работу всё задание принимают за 1: тот, кто справляется за a единиц времени, делает за одну единицу 1/a часть.