§ 12. Решение квадратных неравенств

Определение. Квадратным называют неравенство вида ax² + bx + c > 0 или ax² + bx + c < 0, а также с нестрогими знаками ≥ и ≤, где x — переменная, a, b и c — числа, причём старший коэффициент a не равен нулю.

Решать их помогает график. Пусть функция y = f (x) задана при всех x. Там, где её график поднялся над осью абсцисс, верно f (x) > 0; там, где график опустился под ось, верно f (x) < 0. Значит, промежутки знакопостоянства функции и есть множества решений этих двух неравенств. Приём, при котором ответ читают прямо с чертежа, называют графическим методом.

На рис. 1 построен график функции y = x² − 2x − 3. Ось абсцисс кривая встречает в точках −1 и 3. Зелёными полосами закрашены участки, где график лежит выше оси, красной — где ниже. Отсюда сразу видно: y > 0 при x < −1 и при x > 3, а y < 0 при −1 < x < 3.

Два промежутка (−∞; −1) и (3; +∞) вместе составляют множество решений неравенства x² − 2x − 3 > 0. Соединение промежутков в одно множество называют объединением и записывают знаком ∪. Поэтому ответ выглядит так: (−∞; −1) ∪ (3; +∞). А решения неравенства x² − 2x − 3 < 0 — это один промежуток (−1; 3).

Всё решает расположение параболы y = ax² + bx + c относительно оси Ox, а задают его два числа.

Первое — старший коэффициент a: при a > 0 ветви подняты вверх, при a < 0 опущены вниз.

Второе — дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 у трёхчлена два нуля x₁ и x₂, и парабола пересекает ось в двух точках; при D = 0 нуль один, обозначим его x₀, и парабола касается оси; при D < 0 нулей нет, вся кривая лежит по одну сторону от оси. Три случая для ветвей вверх показаны на рис.