§ 11. Квадратичная функция, её график и свойства

Определение. Квадратичной называют функцию, которую можно задать формулой y = ax² + bx + c, где x — переменная, а a, b и c — числа, причём старший коэффициент a не равен нулю.

Одну такую функцию ты строил в 8 классе: y = x². Встречаются они и вне алгебры: площадь круга связана с радиусом формулой S(r) = πr², где a = π, а b и c равны нулю. Тело, брошенное вверх со скоростью v₀, через время t находится на высоте h(t) = v₀t − gt²/2 — тоже квадратичная функция, у которой a = −g/2. А вот y = 4x + 3 задаёт не квадратичную функцию: члена с x² в этой записи нет.

Научимся строить график любой квадратичной функции, а не только y = ax². Приём знаком — выделение квадрата двучлена:

ax² + bx + c = = a(x² + (b/a)x + c/a) = = a(x² + 2 · x · b/(2a) + b²/(4a²) − b²/(4a²) + c/a) = = a((x + b/(2a))² + (4ac − b²)/(4a²)) = = a(x + b/(2a))² + (4ac − b²)/(4a).

Введём обозначения x₀ = −b/(2a) и y₀ = (4ac − b²)/(4a). Тогда громоздкая формула становится компактной: y = a (x − x₀)² + y₀. Такая запись знакома по прошлому параграфу: это график y = ax², сдвинутый по горизонтали и вертикали. Цепочка построения собрана на рис. 1: перенос вдоль оси Ox на |x₀| единиц, затем вдоль оси Oy на |y₀| единиц; внизу схемы тот же путь с числами.

Направление переноса задаёт знак: при x₀ > 0 кривая едет вправо, при x₀ < 0 — влево; при y₀ > 0 — вверх, при y₀ < 0 — вниз. На рис. 2 разобран случай a > 0, x₀ > 0, y₀ < 0: парабола y = x² опускается на 3 единицы и уходит на 2 вправо, а вершина попадает в точку (2; −3). Вышла функция y = (x − 2)² − 3, она же y = x² − 4x + 1. Порядок переносов любой.

При отрицательном a картина иная. На рис. 3 показан случай a < 0, x₀ < 0, y₀ > 0: парабола y = −x² поднимается на 4 единицы и уходит на 3 влево. Ветви остались направленными вниз: перенос не переворачивает кривую и не меняет её ширины. Итог — функция y = −(x + 3)² + 4, или y = −x² − 6x − 5, с вершиной (−3; 4).