§ 9. Свойства степени с целым показателем

В 7 классе показатель степени был натуральным, и правила действий со степенями там уже доказаны. Теперь показатель бывает нулём и целым отрицательным, но правила остаются верными при любом целом показателе. Добавилось лишь требование a ≠ 0: нулевая и отрицательная степень нуля не определены.

Все пять равенств с числовой проверкой собраны на рис. 1.

Свойство. Пусть a ≠ 0, а m и n — целые числа. Тогда верно равенство aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Например, 2⁵ · 2⁻³ = 2⁵⁻³ = 2² = 4.

Это равенство — основное свойство степени: показатели при умножении складываются.

Свойство. При тех же условиях (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Например, (5⁻²)³ = 5⁻⁶, а (3⁻¹)⁻⁴ = 3⁴ = 81.

Свойство. Если a ≠ 0, b ≠ 0, а n — целое число, то (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Например, (2 · 5)⁻² = 2⁻² · 5⁻² = 1 / 100.

Докажем основное свойство для отрицательных показателей. Пусть m = −p и n = −s, где p и s натуральные. Тогда

aᵐ · aⁿ = a⁻ᵖ · a⁻ˢ = = (1 / aᵖ) · (1 / aˢ) = = 1 / (aᵖ · aˢ) = = 1 / aᵖ⁺ˢ = = a⁻⁽ᵖ⁺ˢ⁾ = aᵐ⁺ⁿ.

В середине выкладки сработало то же правило для натуральных показателей p и s — оно известно из 7 класса. Рассуждение повторено на рис. 2.

Остались случаи с показателями разных знаков и с нулевым показателем; они разбираются так же коротко: при n = 0 равенство даёт aᵐ · 1 = aᵐ. Равенства (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ и (ab)ⁿ = aⁿbⁿ обосновывают по той же схеме.

Свойство. Пусть a ≠ 0, а m и n — целые числа.