§ 8. Степень с целым отрицательным показателем

Длинную цепочку одинаковых множителей сворачивают в степень: 1 048 576 = 2²⁰, а 1 953 125 = 5⁹. Короткая запись читается легче длинной, и в науке ею пользуются постоянно — только основание чаще всего берут одно и то же, число 10.

Путь, который свет проходит за год, приблизительно равен 9 460 000 000 000 км, то есть 9,46 · 10¹² км. Массу Земли в килограммах записывают короче: 5,97 · 10²⁴. Так выглядит макромир — область очень больших значений.

У него есть противоположность, микромир. Диаметр молекулы воды равен 0,00000000028 м, а заряд электрона равен 0,00000000000000000016 Кл. Обе пары величин сведены на рис. 1: слева они выписаны подряд, справа — через степень десятки.

Маленькие числа тоже сворачиваются, но запись пока выходит «двухэтажной»: 0,00000000028 = 2,8 / 10¹⁰; 0,00000000000000000016 = 1,6 / 10¹⁹. Договоримся обозначать 1 / 10¹⁰ через 10⁻¹⁰, а 1 / 10¹⁹ через 10⁻¹⁹. Тогда оба числа получают одноэтажный вид: 2,8 · 10⁻¹⁰ и 1,6 · 10⁻¹⁹. Точно так же дробь 1 / 4³ разумно записать как 4⁻³, а дробь 1 / 0,6 — как 0,6⁻¹.

Определение. Пусть a — число, отличное от нуля, а n — натуральное число. Тогда a⁻ⁿ = 1 / aⁿ.

Проверим определение на числах: 3⁻² = 1 / 3² = 1/9; (−5)⁻² = 1 / (−5)² = 1/25; (2/3)⁻³ = 1 / (2/3)³ = 27/8; 0,4⁻¹ = 1 / 0,4 = 2,5. Определение вместе с этими примерами собрано на рис. 2.

Показатель теперь бывает натуральным и целым отрицательным. Осталось одно незанятое место — нуль.

Определение. Если a ≠ 0, то a⁰ = 1.

Скажем, 7⁰ = 1, (−23)⁰ = 1, (−3/5)⁰ = 1, 1,8⁰ = 1.

Запомни: выражение 0ⁿ при целом n, не большем нуля, смысла не имеет.