§ 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Дроби с одинаковыми знаменателями складывать легко: знаменатель оставляют прежним, а числители складывают. Но в сумме 2 / (3x) + 5 / x² знаменатели разные, и правило сразу не работает. Отдельного приёма не понадобится — достаточно сделать знаменатели одинаковыми. Разрешает это основное свойство рациональной дроби: числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же не равное нулю выражение, и дробь останется прежней (рис. 1).

Пусть надо сложить P / Q и R / S. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на S, а второй — на Q. Знаменатели станут одинаковыми, и числители можно складывать:

P / Q + R / S = = (P · S + R · Q) / (Q · S).

Определение. Общим знаменателем нескольких дробей называют выражение, которое делится на знаменатель каждой из них.

Запомни: чтобы сложить или вычесть дроби с непохожими знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а дальше действуют по правилу для дробей с одинаковыми знаменателями.

Здесь общим знаменателем служит произведение Q · S. Оно подходит всегда, но удобно далеко не всегда. У дробей 5 / (6a) и 7 / (4a) произведение знаменателей равно 24a², хотя хватило бы и 12a: числа вдвое меньше, а сокращать в конце не приходится (рис. 2).

Наименьший общий знаменатель подбирают так же, как для обыкновенных дробей: каждый знаменатель раскладывают на множители, а потом берут каждый множитель в наибольшей степени.