§ 14. Подмножество. Операции над множествами

Соберём в одно множество всех натуральных делителей числа 12: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Оставим в нём только чётные делители — получится новое множество B = {2, 4, 6, 12}. Ни одно число из B не выпало за пределы A: всё содержимое B лежит внутри A. Такое положение встречается настолько часто, что для него завели отдельное слово.

Определение. Множество B называют подмножеством A, если всякий элемент B входит также и в множество A.

Пишут это коротко: B ⊂ A. Ту же мысль разворачивают и в обратную сторону: A ⊃ B. Читают записи так: «B — подмножество A» и «A включает B».

Подмножества встречаются на каждом шагу: множество дежурных класса — подмножество множества всех его учеников; множество квадратов — подмножество множества прямоугольников; множество точек луча KM — подмножество множества точек прямой, на которой лежит этот луч (рис. 1); {a} ⊂ {a, b}: один элемент — часть двух.

Связи между множествами удобно показывать кружками: каждое множество — круг, а взаимное расположение кругов передаёт отношение между множествами. Такие схемы называют диаграммами Эйлера. На рис. 1 маленький круг B нарисован внутри большого круга A — это и есть картинка записи B ⊂ A.

По такой картинке легко читаются два утверждения. Если элемент x попал в маленький круг, то он наверняка оказался и в большом: чтобы x принадлежал A, достаточно, чтобы x принадлежал B. Наоборот, ни одна точка вне большого круга в маленький попасть не может: чтобы x принадлежал B, необходимо, чтобы x принадлежал A.

Проверим это на числах. Пусть A — натуральные числа, кратные 3, а B — натуральные числа, кратные 9. Каждое число, делящееся на 9, делится и на 3, поэтому B ⊂ A. Значит, для делимости на 3 достаточно делимости на 9, а для делимости на 9 делимость на 3 только необходима — одной её мало: число 12 делится на 3, но на 9 не делится.

Свойство. Когда одновременно выполняются два включения, A ⊂ B и B ⊂ A, множества совпадают: A = B.

Действительно, первое включение говорит, что все элементы A есть в B, второе — что все элементы B есть в A. Наборы элементов совпадают, а значит, перед нами одно и то же множество.

У пустого множества элементов нет вовсе, поэтому среди них не найдётся ни одного, выпадающего из A. Отсюда ∅ ⊂ A при любом A. И каждое множество является подмножеством самого себя: A ⊂ A.

Пример 1. Выпишем все подмножества множества {p, q, r} и сосчитаем их.