§ 13. Множество и его элементы

Слово «множество» заменяет в математике десяток бытовых слов. Мы говорим: стадо оленей, связка ключей, эскадрилья самолётов, гроздь винограда. Переставить эти слова нельзя — «гроздь ключей» звучит нелепо, а «множество» подходит к любому набору предметов: у него нет своего сюжета, есть только идея, что предметы собраны вместе и дальше рассматриваются как одно целое.

Вот ещё примеры: множество учеников одной школы; множество спутников планеты; множество трёхзначных чисел; множество пар чисел (x; y), для которых x + y = 5.

Предметы, из которых собрано множество, называют его элементами. Сами множества принято обозначать прописными латинскими буквами A, B, C, M, а элементы — строчными: a, b, c, x. Запись a ∈ A означает, что объект a — элемент множества A; читают её так: «a принадлежит множеству A». Противоположная запись b ∉ A говорит, что b элементом множества A не является. Например, для множества натуральных чисел N верно 12 ∈ N, а вот −3 ∉ N и 2/5 ∉ N: ни отрицательное число, ни дробь натуральными не бывают. На рис. 1 множество нарисовано овалом: что внутри — принадлежит, что снаружи — нет.

Некоторым множествам математики дали собственные названия и знаки. Все точки плоскости, взятые вместе, — это геометрическая фигура. Точки, каждая из которых обладает заданным свойством, образуют геометрическое место точек, коротко ГМТ. У функции f значения её аргумента собраны в область определения D (f), а значения самой функции — в область значений E (f). Натуральные числа образуют множество N, целые — множество Z, рациональные — множество Q. Все эти имена и знаки сведены в таблицу на рис. 2.

Чаще всего множество задают одним из двух способов.

Первый способ — перечислить элементы и записать их список в фигурных скобках через запятую.