§ 6. Свойства степени с натуральным показателем

Два выражения со степенями одного и того же основания почти всегда можно свернуть в одну степень. Начнём с произведения a² · a⁵. Распишем каждый сомножитель по определению степени и посчитаем, сколько всего получилось одинаковых множителей: 2 + 5 = 7 (рис. 1).

Запишем это в строчку: a²a⁵ = (aa) · (aaaaa) = aaaaaaa = a⁷. Показатель результата — сумма показателей. Так же считается и в других случаях: a³ · a² = a⁵, a · a⁹ = a¹⁰.

Сколько примеров ни перебирай, все они не докажут, что равенство aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ выполняется для всех натуральных m и n: наборов показателей бесконечно много. Утверждение, которое обосновывают доказательством, в математике называют теоремой.

Теорема 6.1. Каковы бы ни были число a и натуральные числа m и n, выполняется равенство aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

Доказательство. Пусть m > 1 и n > 1. Первая степень — это m одинаковых множителей a, вторая — ещё n таких же множителей. Записав их подряд, получаем одно произведение, в котором множителей m + n, то есть aᵐ⁺ⁿ. При m = 1 рассуждение то же: к единственному множителю a приписываем n множителей и получаем 1 + n множителей. Случай m > 1, n = 1 и случай m = n = 1 разбираются точно так же.

Тождество aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ называют основным свойством степени.

Правило. Перемножая степени с общим основанием, основание сохраняют, а показатели складывают.

Свойство работает и для трёх множителей, и для большего их числа: 2² · 2³ · 2⁴ = = 2²⁺³ · 2⁴ = = 2⁵ · 2⁴ = 2⁹.

Теперь разделим степени. Возьмём a⁹ : a⁴, где a ≠ 0. Подберём частное: так как a⁴ · a⁵ = a⁹, то по смыслу деления a⁹ : a⁴ = a⁵, а 5 — это как раз 9 − 4.

Теорема 6.2. Если число a не равно нулю, а натуральные числа m и n таковы, что m > n, то aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.