§ 4. Тождественно равные выражения. Тождества

Возьмём две пары выражений и посмотрим, как они ведут себя при одних и тех же значениях переменной.

Первая пара — x⁵ и 5x³ − 4x. Подставим по очереди x = 0, затем x = 1 и x = −1, а потом x = 2 и x = −2; результаты соберём в таблицу (рис. 1). Все пять раз значения совпали, и кажется, что найдена закономерность. Проверим её ещё на одном числе: при x = 3 получаем x⁵ = 3⁵ = 243, а 5x³ − 4x = 5 · 27 − 12 = 123. Значения разошлись, а значит, совпадение на пяти числах ничего не доказывает.

Вторая пара — 3(x − 2) + 5 и 3x − 1. При тех же значениях переменной их значения тоже совпадают (рис. 2), но здесь совпадение не случайно. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 3(x − 2) + 5 = = 3x − 6 + 5 = = 3x − 1. Первое выражение «превратилось» во второе, поэтому при любом значении x они дают одно и то же число.

Определение. Два выражения называют тождественно равными, если при всех значениях переменных, которые в них входят, эти выражения принимают одинаковые значения.

Итак, 3(x − 2) + 5 и 3x − 1 — тождественно равные выражения, а x⁵ и 5x³ − 4x таковыми не являются. Вот ещё пары тождественно равных выражений: 5(a + b) и 5a + 5b; 4m + n и n + 4m; a²bc и ca²b; p − (q + r) и p − q − r.

Соединим тождественно равные выражения знаком равенства — получится верное равенство, например 5(a + b) = 5a + 5b. Оно остаётся верным при любых a и b, потому что этого требует распределительное свойство умножения.

Определение. Тождеством называют равенство, которое верно, какие бы значения ни принимали входящие в него переменные.