§ 31. Гармонические колебания

В природе и в технике постоянно встречаются повторяющиеся движения особого рода — их называют гармоническими. Тело движется так, если на него действует возвращающая сила, которая растёт пропорционально смещению и всегда направлена к точке покоя. Коротко это условие записывают формулой Fₓ = −k·x, где Fₓ — проекция возвращающей силы на ось X (Н), x — смещение тела от положения равновесия (м), k — постоянный для системы коэффициент (Н/м); у пружинного маятника это жёсткость пружины. Знак «минус» говорит, что сила и смещение направлены в разные стороны: чем дальше тело ушло от центра, тем сильнее его тянет назад. Пружинный маятник даёт такие колебания, если трение мало, а пружина работает в пределах упругости.

Проверим на опыте, как меняется координата такого маятника со временем (рис. 1). Подвесим на пружине лёгкую воронку с сухим песком, а под ней положим длинную бумажную ленту и будем равномерно тянуть её вбок, поперёк плоскости колебаний. Песок сыплется из отверстия и оставляет на бумаге непрерывную извилистую полосу: каждая её точка отмечает, где был груз в тот или иной момент. Скорость ленты подбирают так, чтобы дорожка вышла чёткой и по ней можно было измерить расстояние между соседними гребнями.

Полученная дорожка имеет знакомую волнообразную форму — такую кривую называют косинусоидой (рис. 2). Горизонтальная ось на чертеже — время t, вертикальная — смещение x. Наибольшие отклонения вправо и влево от нулевой отметки равны по модулю; это значение и есть амплитуда A. Симметрия рисунка показывает, что к центру тело возвращается одинаково быстро с обеих сторон.

Пусть отсчёт начат в тот миг, когда груз был у правой границы своего пути и его координата равнялась максимуму: x = A. За один полный цикл он проходит через центр, доходит до противоположной крайней точки, где x = −A, поворачивает обратно и снова оказывается там, откуда стартовал.