Главная → Уроки → Алгебра 9 класс

§ 9. Построение графика функции y = kf(x)

Прочитай параграф про растяжение и сжатие графика вдоль оси Oy, а затем ответь на 10 вопросов. Внимательно следи за знаком коэффициента k.

С параболой y = x² ты уже знаком: это плавная линия с вершиной в начале координат, ветви которой смотрят вверх. Научимся из одного готового чертежа получать целое семейство новых. Приём годится для любой функции: у известной кривой меняют только ординаты, а абсциссы оставляют нетронутыми.

Начнём с примера. Сравним y = x² и y = 2x², сосчитав их значения при одних и тех же аргументах. Результат — в таблице на рис. 3.

Таблица из трёх строк: значения x от −2 до 2, под ними значения x² и вдвое большие значения 2x²
Рис. 3. Таблица значений функций y = x² и y = 2x²

Посмотри на две нижние строки: под каждым значением x нижнее число ровно вдвое больше среднего. Иначе и быть не может — вторая формула отличается от первой множителем 2. Значит, точке (x₀; y₀) первой кривой отвечает единственная точка (x₀; 2y₀) второй. Верно и обратное: всякая точка (x₁; y₁) второй кривой получена из точки (x₁; y₁ / 2) параболы y = x². Поэтому весь график функции y = 2x² — это прежняя парабола, у которой каждая точка отодвинута от оси Ox вдвое дальше; вбок не сместилась ни одна (рис. 4).

Пунктирная парабола y = x² и парабола y = 2x²; оранжевые стрелки идут вверх от точки к точке
Рис. 4. Каждая ордината умножена на 2: растяжение от оси Ox

Теперь возьмём множитель меньше единицы и построим y = ½x². Здесь каждая ордината уменьшается вдвое, и кривая как бы прижимается к оси абсцисс, становясь шире (рис. 5). Сравни все три параболы на одном чертеже: чем больше множитель, тем уже линия (рис. 1).

Пунктирная парабола y = x² и парабола y = ½x²; оранжевые стрелки идут вниз, к оси абсцисс
Рис. 5. Каждая ордината умножена на ½: сжатие к оси Ox
Три параболы на одних осях: y = ½x² (широкая), y = x² и y = 2x² (узкая)
Рис. 1. Растяжение и сжатие графика: y = kx² при k = ½, 1 и 2

Правило. При k > 0 каждую точку известного графика y = f (x) заменяют точкой с прежней абсциссой, а её ординату умножают на k — так и строится кривая y = kf(x).

У этого преобразования есть свои названия. При k > 1 говорят, что график растянут от оси абсцисс в k раз; при 0 < k < 1 — что он сжат к оси абсцисс в 1/k раз. Так, парабола y = 2x² растянута от оси Ox вдвое, а парабола y = ½x² к той же оси вдвое сжата.

Дальше — в приложении

Полный пересказ по учебнику «Алгебра 9 класс», тест из большого пула вопросов и разбор ошибок с ИИ-репетитором. За сданный тест ребёнок получает экранное время — родители задают, сколько минут стоит урок.

Пройти урок бесплатноКак это работает

Вопросы из теста

Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.

Вдоль какой оси происходит растяжение или сжатие графика при переходе от y = f(x) к y = kf(x)?

Что происходит с графиком функции y = f(x) при k > 1?

← § 8. Свойства функции§ 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x + a) →