§ 6. Тождественные преобразования рациональных выражений

Рациональное выражение собрано из чисел и переменных знаками четырёх действий. Правила, по которым дроби складывают, умножают, делят и возводят в степень, устроены удачно: результат каждого действия — снова дробь. Значит, всю цепочку действий можно свернуть и получить одну рациональную дробь.

Определение. Тождественным преобразованием называют замену выражения другим выражением, значения которых совпадают при всех допустимых значениях переменных.

Определение. Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Новых правил не будет: все четыре собраны вместе на рис. 1. Складывают и вычитают дроби с одинаковыми знаменателями, а разные знаменатели сначала приводят к общему.

Порядок действий такой же, как в числовом примере: сначала считают то, что стоит в скобках, потом умножение и деление по очереди слева направо, в конце — сложение и вычитание. Готовую дробь обязательно проверяют на сокращение (рис. 2).

Пример 1. Упростите выражение (5b / (b − 3) − 15b / (b² − 6b + 9)) : (b − 6) / (b² − 9) − (4b² + 18b) / (b − 3).

Решение. Здесь три действия: вычитание в скобках, деление и вычитание. Выполним их по очереди.

1) 5b / (b − 3) − 15b / (b² − 6b + 9) = = 5b / (b − 3) − 15b / (b − 3)² = = (5b(b − 3) − 15b) / (b − 3)² = = (5b² − 30b) / (b − 3)² = = 5b(b − 6) / (b − 3)².

2) 5b(b − 6) / (b − 3)² : (b − 6) / (b² − 9) = = 5b(b − 6) / (b − 3)² · (b − 3)(b + 3) / (b − 6) = = (5b² + 15b) / (b − 3).

3) (5b² + 15b) / (b − 3) − (4b² + 18b) / (b − 3) = = (5b² + 15b − 4b² − 18b) / (b − 3) = = (b² − 3b) / (b − 3) = = b(b − 3) / (b − 3) = b.