§ 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

Задача из жизни не приходит с готовой формулой: сюжет переводят на язык алгебры. Такой перевод называют составлением математической модели, а модель — это уравнение, записанное по условию задачи.

Запомни: работа над сюжетной задачей идёт в три этапа (рис. 1). Первый — составление модели: выбираем неизвестную, выражаем через неё остальные величины и записываем уравнение. Второй — работа с моделью: решаем уравнение, про сюжет забыв. Третий — ответ на вопрос задачи: возвращаемся к условию, отбрасываем корни без смысла и отвечаем на заданный вопрос.

Опаснее всего пропустить третий этап: уравнение не знает, что x — скорость или число рабочих, и среди его корней окажется лишний.

Сюжетов немного, и каждый держится на своей формуле (рис. 2). Движение: s = v · t, откуда t = s / v; у судна скорость по течению равна v + c, а против течения v − c, где c — скорость течения. Работа: её всю принимают за 1, и за час выполняется 1 / x часть, если на всё нужно x часов. Раствор: концентрация c = m / M, где m — масса вещества, M — масса раствора; в процентах это 100m / M. Деление на неизвестную и делает уравнение рациональным.

Пример 1. Из посёлка выехал велосипедист, а через 30 мин в том же направлении — мотоциклист, догнавший его в 20 км от посёлка.