§ 22. Квадратный трёхчлен

Среди многочленов второй степени есть свой главный герой: с ним связаны и квадратные уравнения, и парабола, и сокращение дробей. У него есть отдельное имя.

Определение. Квадратным трёхчленом называют многочлен ax² + bx + c, где x — переменная, а a, b и c — числа, причём старший коэффициент a не равен нулю.

Условие a ≠ 0 здесь главное: без слагаемого с x² вторая степень исчезает. А вот коэффициенты b и c нулю равняться могут — многочлен от этого квадратным трёхчленом быть не перестаёт. Квадратные трёхчлены, например, такие: 5x² − 2x + 7; x² + 9x; x² − 16; 4x². Левая часть любого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 — тоже квадратный трёхчлен.

Определение. Корнем квадратного трёхчлена называют такое значение переменной, при котором значение трёхчлена обращается в нуль.

Например, число 3 — корень трёхчлена x² − 5x + 6, ведь 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Чтобы найти все корни трёхчлена ax² + bx + c, решают соответствующее квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 — ничего нового придумывать не нужно.

Число D = b² − 4ac называют дискриминантом квадратного трёхчлена ax² + bx + c. Он и здесь пересчитывает корни: при D < 0 корней нет, при D = 0 корень один, при D > 0 корней два.

У корней есть наглядный смысл: это абсциссы точек, в которых парабола y = ax² + bx + c встречает ось x. У трёхчлена x² − 5x + 6 таких точек две — 2 и 3 (рис. 1).

Разложим этот же трёхчлен на множители способом группировки:

x² − 5x + 6 = = x² − 2x − 3x + 6 = = x(x − 2) − 3(x − 2) = = (x − 2)(x − 3).

Множители x − 2 и x − 3 — многочлены первой степени, их называют линейными. И заметь: числа 2 и 3, которые вычитаются в скобках, — ровно те корни, что мы видели на рисунке. Совпадение не случайное.

Теорема. Если дискриминант квадратного трёхчлена ax² + bx + c положителен, то трёхчлен можно разложить на линейные множители: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), где x₁ и x₂ — корни этого трёхчлена.

Доказательство. Числа x₁ и x₂ — корни уравнения ax² + bx + c = 0, поэтому по теореме Виета x₁ + x₂ = −b / a и x₁ · x₂ = c / a.