§ 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

Если среди множителей подкоренного числа прячется квадрат, корень удаётся упростить. Разложим 72 на два множителя так, чтобы первый был квадратом: 72 = 36 · 2. Корень из произведения равен произведению корней, поэтому

√72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2.

Корень превратился в произведение рационального числа 6 и иррационального √2. Такой переход — вынесение множителя из-под знака корня.

Ту же цепочку читают и справа налево:

6√2 = √36 · √2 = √(36 · 2) = √72.

Обратный переход — внесение множителя под знак корня; оба собраны на рис. 1.

Запомни: под корень вносят лишь неотрицательный множитель, а минус остаётся снаружи: −5√2 = −√(25 · 2) = −√50.

Внесение помогает сравнивать числа: 4√3 = √48, а 3√5 = √45, и больше тот корень, под которым стоит большее число, поэтому 4√3 > 3√5.

С буквами появляется дополнительная осторожность. Равенство √(x²) = x годится не всегда: при x = −7 слева стоит √49 = 7, а справа −7. Верная запись — √(x²) = |x|, и проверка на двух знаках стоит на рис. 2. Вынося множитель из выражения с буквой, сначала выясняют её знак: при m ≤ 0

√(m⁶ n) = √(m⁶) · √n = |m³| · √n = −m³√n.

Все преобразования параграфа тождественные: вид записи меняется, а значение выражения — нет.

Займёмся суммой корней. Слагаемые с одинаковым выражением под корнем подобны, и приводят их так же, как подобные одночлены: общий корень выносят за скобки (рис. 3).

Пример 1. Упростим выражение √98 + √50 − √32.

Решение: вынесем множители из-под каждого корня: √98 = √(49 · 2) = 7√2, √50 = √(25 · 2) = 5√2, √32 = √(16 · 2) = 4√2. У всех трёх слагаемых один и тот же корень √2, вынесем его за скобки: 7√2 + 5√2 − 4√2 = (7 + 5 − 4)√2 = 8√2.

Ответ: 8√2.

С буквой действуют точно так же: √(45y) + √(20y) − √(80y) = 3√(5y) + 2√(5y) − 4√(5y) = √(5y).

Умножают выражения с корнями по обычным правилам раскрытия скобок, сворачивая произведение двух корней в один.

Пример 2. Найдём значение выражения √3 · (√27 + √12).

Решение: умножим √3 на каждое слагаемое скобки: √3 · √27 = √(3 · 27) = √81 = 9, √3 · √12 = √(3 · 12) = √36 = 6.