§ 23. Линейная функция, её график и свойства

Пример 1. В зернохранилище лежало 150 т зерна, и каждый час туда привозят ещё 12 т. Тогда масса зерна m через t часов после начала работы вычисляется так:

m = 12t + 150, где t ⩾ 0.

Пример 2. Абонемент в бассейн стоит 400 р., и сверх того берут 60 р. за каждое посещение. Если ребёнок сходил в бассейн x раз, он заплатит

y = 60x + 400, где x — натуральное число.

Ситуации совсем разные — зерно и бассейн, — а формулы устроены одинаково: переменную умножили на одно число и прибавили другое.

Определение. Линейной называют такую функцию, для которой находится формула y = kx + b; здесь x — независимая переменная, а k и b — какие-нибудь числа.

Вот ещё линейные функции: y = −3x + 7, y = x / 4, y = −5x, y = 8. Область определения линейной функции — все числа: подставить в kx + b можно любое значение аргумента.

Построим график функции y = 2x − 3. Составим таблицу значений при целых x от −2 до 3 (рис. 1).

Точки A (−2; −7), B (−1; −5), C (0; −3), D (1; −1), E (2; 1) и F (3; 3) принадлежат искомому графику. Отметим их — все шесть выстраиваются в один ряд (левое поле рис. 2). Проведём через них линию: получается прямая (правое поле рис. 2).

Запомни: графиком линейной функции служит прямая. Строгое доказательство вы увидите в курсе геометрии 9 класса. Заметим только, что вертикальной такая прямая не бывает: одному значению аргумента отвечало бы сразу много значений функции.

Прямая полностью определяется любыми двумя своими точками, поэтому в таблице значений достаточно двух столбцов: посчитал два значения — и веди линейку.