§ 10. Умножение одночлена на многочлен

Одночлен умножают на многочлен так же, как число умножают на сумму. В основе лежит распределительное свойство умножения: a(b + c) = ab + ac. Его смысл хорошо виден на площади (рис. 1): прямоугольник со сторонами a и b + c разрезан на две части, и вся площадь равна сумме площадей ab и ac.

Умножим одночлен 3a на многочлен 2a + 4b − 5. Берём 3a и по очереди умножаем его на каждый член скобки, а результаты складываем:

3a(2a + 4b − 5) = = 3a · 2a + 3a · 4b − 3a · 5 = = 6a² + 12ab − 15a.

Получился снова многочлен, и так бывает всегда.

Правило. Чтобы умножить одночлен на многочлен, умножают его на каждый член этого многочлена, а найденные произведения складывают.

Сколько членов в скобках, столько выйдет и произведений: на рис. 2 от одночлена 4x идут три стрелки — по одной к каждому члену трёхчлена. Множители можно менять местами, поэтому по тому же правилу многочлен умножают на одночлен.